证明:我们已证得Φ'(x)=f(x)，故Φ(x)c=f(x)
'(x)=f(x)。
相干先容：对坐标的曲线积分与途径无关的定义
牛顿-莱布尼茨公式
【定义二】曲线积分在内与途径无关是指,对于内肆意一条闭曲线,恒有
现在我们把积分区间的上限作为一个变量，如许我们就定义了一个新的函数:
可见这也是导数的定义,以是最后得出Φ'(x)=f(x)。
Φ(x)=x∫a*f(x)dx
明显，xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt
ΔΦ=Φ(xΔx)-Φ(x)=xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt
【定理】设开地区是一个单连通域,函数,在内具有一阶持续偏导数,则在内曲线积分与途径无关的充分需求前提是等式在内恒建立.证明:先证充分性在内任取一条闭曲线,因单连通,故闭曲线所围成的地区全数在内.从而在上恒建立.由格林公式,有依定义二,在内曲线积分与途径无关.再证需求性(采取反证法)假定在内等式不恒建立,那么内起码存在一点,使无妨设因为在内持续,在内存在一个觉得圆心,半径充分小的圆域,使得在上恒有由格林公式及二重积分性子有这里是的正向鸿沟曲线,是的面积.这与内肆意闭曲线上的曲线积分为零的前提相冲突.故在内等式应恒建立.说明:定理所需求的两个前提缺一不成.【反例】会商,此中是包抄原点的一条分段光滑曲线且正向是逆时针的.这里撤除原点外,在所围成的地区内存在,持续,且.在内,作一半径充分小的圆周在由与所围成的复连通域内利用格林公式有
(1)∮cp(x,y)dxq(x,y)dy=∫∫d(dq/dx-dp/dy)dxdy
2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=f(b)-f(a)，f(x)是f(x)的原函数。
(uv)^(n)=∑(n，k=0)c(k,n)*u^(n-k)*v^(k)
因而有Φ(x)f(a)=f(x)，当x=b时，Φ(b)=f(b)-f(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt，以是b(上限)∫a(下限)f(t)dt=f(b)-f(a)
公式(1)叫做格林公式.
微积分的根基公式共有四至公式:1.牛顿-莱布尼茨公式，又称为微积分根基公式2.格林公式，把封闭的曲线积分化为地区内的二重积分，它是平面向量场散度的二重积分3.高斯公式，把曲面积分化为地区内的三重积分，它是平面向量场散度的三重积分4.斯托克斯公式，与旋度有关。这四至公式构成了典范微积分学教程的骨干。
这就是高斯定理。它表示，电场强度对肆意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的漫衍环境无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的环境下,Σq是包抄在封闭曲面内的自在电荷的代数和。
公式利用：那么如安在用积分获得上述路程公式呢
另一方面,据对坐标的曲线积分性子与计算法有
b∫a*f(x)dx
而ΔΦ=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)Δx(ξ在x与xΔx之间，可由定积分中的中值定理推得，当Δx趋势于0也就是ΔΦ趋势于0时，ξ趋势于x，f(ξ)趋势于f(x)，故有limΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)