把t再写成x，就变成了开首的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。
此中是的取正向的鸿沟曲线.
折叠格林公式：【定理】设闭地区由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶持续偏导数,则有
根基先容：在平面地区上的二重积分也能够通过沿地区的鸿沟曲线上的曲线积分来表示。
再假定穿过地区内部且平行于轴的直线与的的鸿沟曲线的交点最多是两点,用近似的体例可证
【定理】设开地区是一个单连通域,函数,在内具有一阶持续偏导数,则在内曲线积分与途径无关的充分需求前提是等式在内恒建立.证明:先证充分性在内任取一条闭曲线,因单连通,故闭曲线所围成的地区全数在内.从而在上恒建立.由格林公式,有依定义二,在内曲线积分与途径无关.再证需求性(采取反证法)假定在内等式不恒建立,那么内起码存在一点,使无妨设因为在内持续,在内存在一个觉得圆心,半径充分小的圆域,使得在上恒有由格林公式及二重积分性子有这里是的正向鸿沟曲线,是的面积.这与内肆意闭曲线上的曲线积分为零的前提相冲突.故在内等式应恒建立.说明:定理所需求的两个前提缺一不成.【反例】会商,此中是包抄原点的一条分段光滑曲线且正向是逆时针的.这里撤除原点外,在所围成的地区内存在,持续,且.在内,作一半径充分小的圆周在由与所围成的复连通域内利用格林公式有
另一方面,据对坐标的曲线积分性子与计算法有
称为电场强度对该面积的通量。按照库仑定律能够证明电场强度对肆意封闭曲面的通量反比于该封闭曲面内电荷的代数和，(1)
折叠单连通地区的观点：设d为平面地区,如果d内任一闭曲线所围的部分地区都属于d,则d称为平面单连通地区;不然称为复连通地区。浅显地讲,单连通地区是不含”洞”(包含”点洞”)与”裂缝”的地区。
Φ(x)=x∫a*f(x)dx
牛顿-莱布尼茨公式
ΔΦ=Φ(xΔx)-Φ(x)=xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt
因而有Φ(x)f(a)=f(x)，当x=b时，Φ(b)=f(b)-f(a),
是以
这就是高斯定理。它表示，电场强度对肆意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的漫衍环境无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的环境下,Σq是包抄在封闭曲面内的自在电荷的代数和。
详细先容
电场强度e在肆意面积上的面积分
证明:让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量
【定义二】曲线积分在内与途径无关是指,对于内肆意一条闭曲线,恒有
高斯公式
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b∫a*f(x)dx
明显，xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt
高斯定理定义：通过肆意闭合曲面的电通量即是该闭合曲面所包抄的统统电荷量的代数和与电常数之比。利用学科：电力（一级学科）；通论（二级学科）
高斯定理，静电场的根基方程之一，它给出了电场强度在肆意封闭曲面上的面积分和包抄在封闭曲面内的总电量之间的干系。