但是这里x呈现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，如许意义就非常清楚了:
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电场强度e在肆意面积上的面积分
【定义二】曲线积分在内与途径无关是指,对于内肆意一条闭曲线,恒有
再假定穿过地区内部且平行于轴的直线与的的鸿沟曲线的交点最多是两点,用近似的体例可证
而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt，以是b(上限)∫a(下限)f(t)dt=f(b)-f(a)
可见这也是导数的定义,以是最后得出Φ'(x)=f(x)。
(1)∮cp(x,y)dxq(x,y)dy=∫∫d(dq/dx-dp/dy)dxdy
公式(1)叫做格林公式.
公式这个公式能表白路程s是每个分歧速率时候行驶的时候和当前速率乘积的和。牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联络了起来，也让定积分的运算有了一个完美、令人对劲的体例。上面就是该公式的证明全过程:对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为:
牛顿-莱布尼茨公式
b∫a*f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量，如许我们就定义了一个新的函数:
因而有Φ(x)f(a)=f(x)，当x=b时，Φ(b)=f(b)-f(a),
综合有当地区的鸿沟曲线与穿过内部且平行于坐标轴(轴或轴)的任何直线的交点最多是两点时,我,同时建立.将两式归并以后即得格林公式
是以
高阶导数莱布尼兹公式
明显，xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt
(uv)^(n)=∑(n，k=0)c(k,n)*u^(n-k)*v^(k)
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相干先容：对坐标的曲线积分与途径无关的定义